关于椭圆形封头开孔补强问题的初步分析

           福建省石油化工设计院     李生昌

  摘要：对椭圆形封头进行应力分析，认为封头失效时的强度取决于封头的顶部强度并非过渡区（即转弯处）。因此，封头的强度计算公式是以顶部为危险区而建立的，其结果对过渡区是安全的。故没有必要把椭圆形封头的开孔补强以0.8D_i为界划分为中心部分和过渡区分别计算，只要统一中心部分进行计算即可。

   关键词：椭圆形封头 开孔补强  强度计算   应务集中

  一、问题的提出

    在GB150-98标准中的椭圆形封头采用以0.8D_i为界限，内外分开按不同形状系数计算壳体开孔处补强的计算厚度，于是同等情况下使得0.8D_i界限内、外所需的补强面积（或厚度）不同。其中原因可能是认为椭圆形封头在过渡段（0.8D_i之外区域）总应力大而封头强度弱的缘故。

    椭圆形封头的总应力的大小与其长、短轴a和b的比值有关，在GB150-98标准中一般是（a/b）≤2.6，常用的是（a/b）=2.0，最大总应力一般是产生在过渡段，最大总应力与封头顶部薄膜应力之比大约为1.1-1.2^[1，5，6]，或者更大一些。但是，整个封头在受内压状态下的危险区——强度最薄弱的区域是否在过渡区呢？据有关文献可知，看法有分歧，文南[1-3]认为，危险区是在封头顶部，最大应力区未必是危险区；文献[4]中认为，封头危险区是在总应力最大的过渡区；文献[12]认为，以最大总应力的过渡区计算并把二次应力作为一次应力对待按1倍{ó}控制，封头强度有裕量，偏于安全。于是封头哪里要求最大的厚度，看法不一。按封头开孔补强分区计算厚度似乎应属于过渡区要求厚度最大的观点。笔者对此有些异议，兹阐述如后与同行商讨，以达到共识。

   二、椭圆形封头的应力分析

   设 并知椭圆方程：。

   于是：
       

由文献[1]可知：

     第一曲率半径
                     （2）

     第二曲率半径
                    （3）

                        （4）

                              （5）

则：径向薄膜应力
                     （6）

周向薄膜应力
                 （7）

式中：P—封头内压力；

      δ—封头厚度。

封头上产生周向应力正负值交界处

则       

即       

代入式（4）得

则       

           （8）

由式（8）知，当k=2.14，ø=0.8（即k≠2.14时，ø≠0.8）。

封头顶部：ф=0    sinβ=0和 ψ-1.0

                 （9）

封头底部：
       

              （10）

   椭圆形封头筒体连接后，因彼此相互制约，封头过渡段（转角处）应力产生变化，现分述如下：

    a）按文献[2]作了简化分析后认为，因圆筒体与封头连接一体，在连接处增加了连接后的附加周向薄膜应力及附加周向变曲应力和附加径向弯曲应力，设筒体与封头同厚度。

    则：
          （11）

    筒体与封头连接后，二者叠加得实际周向应力结合式（10）得：

                             （12）

    在封头筒体连接处附近，当泊桑比μ=0.3时，则：

                                        （13）

当k=2.0，周向薄膜应力=0，径向薄膜应力 ，附加周向弯曲应力，

附加径向弯曲应力 。

    于是封头与筒体连接处附近，标准椭圆形封头的最大应力为：

径向最大应力：

周向最大应力：

    故知，标准椭圆形封头的薄膜应力与附加弯曲应力之和的最大值大约是同一厚度圆筒壳体中应力的1.09倍，这与文献[5]中的Maker报告结论相符，其中薄膜应力约占总应力的50%。

    b）由文献[5]中可知，Coates对k=2.0的椭圆形封头过渡段研究结果是：封头径向周向应力被除之如表1。

表1中按第三强度理论的当量应力值和按第一强度理论的当量应力值都没有超过顶部的最大薄膜应力值，在过渡段（> 0.8Dⁱ区）薄膜应力与封头顶部薄膜应力之比大约为50%。

                 表1封头径向和周向应力除以值的数据

Maker 以Coates的计算方法对k=2.0的椭圆形封头的计算结果是:"不连续应力与膜应力相加所得最大值是同厚度圆筒壳体中的应力的1.09倍“^[5]。

Jasper实验得出：“当k=2.0，椭圆形封头的强度与壳体相同或更强于壳体”^[5]。

c）由图2的k=2.0和k=2.6两个有限元计算图谱看，可得出下列结果：

  1）当k=2.0，封头顶部的中性面的薄膜应力（略去量纲项，下同），过渡段最大总应力与封头顶部的薄膜就力比为：外壁1.24；内壁1.01。封头顶部应力与筒体相当（故二者强度相同）。

2）k=2.6，封头顶部的中性面的薄膜应力与封头顶部的薄膜应力之比为：外壁1.43；内壁1.12。

3）如果以式（13）的近似计算并减去径向附加弯曲应力，则过渡段与封头顶部的薄膜应力之比，k=2.0为0.71，k=2.6为0.74。

    从以上三种不同的方法，对椭圆形封头与圆筒体连接时的应力情况进行了分析、彼此相互佐证可知：1）按近似计算，Coates的精确计算（壳体无力矩理论）和边缘有力矩及有限元计算三者结果基本一致；2）薄膜应力最大处在封头顶部，总应力最大处在过渡段，后者与封头横部薄膜应力之比大约是1.1-1.2 或稍大，但是它是由薄膜应力与边缘附加弯曲应力组成；3）Jasper的实验结果——“标准椭圆形封头的强度与圆筒壳体相同或更强于圆筒壳体”，只能解释为封头顶部的最大膜应力与筒体最大膜应力相等（但前者区域很小）的结果；4）0.8D_i的界限不构成应力分布特征值（k=2.14例外）；5）决定封头强度的应当是顶部的应力强度而不是过渡段的总应务（它是膜应力+边缘附加弯曲应力，其控制按3[б]）。

  三、椭圆形封头的强度计算及开孔补强

    椭圆形封头的强度计算中，满足规范要求，不失稳的封头厚度表达式为：

    中国：

                         （15）

    GD

形状系数按ASME经验式：

                       （16）

当k=2.0，k=1.0，式（14）与式（17）相近。

圆筒体壁厚为：

                     （17）

      一般情况，，式（14）、（15）、（17）计算值接近，但式（17）略大（当k=2.0）。

     形状系数K根据经验来，但究竟根据封头顶部还是过渡段的强度而来，ASME没有明确注明。如果以封头顶部应力 ，同样可得出式（14）或式（17）（无论是按第一或第三强度理论）。再结合Jasper实验结果—封头强度与筒体相同或略强以及上文分析，按封头顶部为危险区而得来的封头厚度计算式较有说服力，同时顶部为薄膜应力，其强度判据按封头顶部为危险区而得来的封头厚度计算式较有说服力，同时顶部为薄膜应力，其强度判据按均可。如果以过渡区为危险区，此处虽然总应力略大，但是它由薄膜应力和附加弯曲应力组成，应以作为强度判据，很难得出式（14）或（15），如果以其总应力较大，把其按判据，再引入形状系数K似乎偏保守且很牵强，也不能解释Jasper的实验结果。按封头顶部为危险区结合式（9）可得理论关系式，它与经验式（16）较当量关径修正系数K₁（GB150-98表7-2）在k=1.0-2.6范围更接近。故式（14）是按封头顶部强度经修正而来。

    在GB150-98中，椭圆形封头开孔补强以0.8D_i为界，补强面积中的计算厚度按式（14）计算，在以0.8D_i外K值按式（16）取，在0.8D_i以内K值按该文的球面当量半径的修正系数K₁选取且一般都比，或式（16）取值小，这意味着，过渡区比中心区要求封头厚度大及式（14）是根据过渡区得来，似乎缺少理论依据。理由是：1）0.8D_i界限纯属人为的大约数，是k=2.14时的的界限值，不是几何或物理上的严格特征值。2）过渡区应力是由薄膜应力与边缘应力组成，即使总应力达到封头膜应力的1

5倍，按 判据，它还是较封头顶部安全，其富裕量显然较顶部大的多。在GB150-98开孔补强分区计算中，其着值大约是10%，即在0.8D_i之外的计算值约大10%。以过渡区之富裕量而言，显然没有必要作分区计算考虑。3）当量半径修正系数，据我们所知，系借用球壳开孔的应力集中系数用于椭圆球开孔应力集中系数时，求当量球半径的经验值及受外压载荷的椭圆形封头的稳定性计算时，借用球壳公式或图表计算时所求当量球半径的修正系数经验值。这些经验值直接引用到受内压椭圆形封头的开孔补强强度计算上，其理论上严谨性似乎不够。我们认为椭圆形封头按强度要求应当是顶部厚度较过渡区大，因此只要按顶部计算开孔补强厚度即可，它可用于中心区的被强厚度，同样可用于过渡区，无须区分 0.8D_i内、外分别计算。鉴于封头顶部的最大膜应力理论上是仅在中心点，周围膜应力相应减小，开孔补强是在一个区域范围内并非一个点，周围材料有补偿能力，虽然它较式（16）值约小10%，开孔补强厚度仍然可应用求当量球半径的修正系数K₁值。

    从开孔后应力集中看，文献[9，10]的分析及近似计算，对于标准椭圆形封头，在ø≤0.96范围内，应力集中系数没有突变，同时在ø≤0.96范围内，倾角θ≤60°（图1），开孔接管中心线与封头轴线平行时，接管相贯形成椭圆孔的长、短袖之比小于2.0，应力集中系数不可能剧增。所以开孔补强不需要另加要求，可以按等面积补强。至于ø>0.96之外区域，因情况有所不同，尚需进一步探讨。

  四、结束语

    综上所述，笔者认为按GB150-98要求，1.0≤k≤2.6的椭圆形封头，在过渡区总应力虽然较顶部膜应力大，但它是由膜应力和附加弯曲应力组成，故封头的危险点在顶部，其强度计算可按顶部的强度确定。

    椭圆形封头的开孔补强，以0.8D_i为界意义不大，开孔补强的计算无须以0.8D_i为界分别计算，只要按封头顶部（或中心部）计算即可同时用于过渡区，这样使设计工作和制造过程都将简化，对于标准椭圆形封头在ø=0.96范围内按等面积补强结构可使用。在计算中可以采用当量球半径修正系数K₁。所以GB150-98标准中所规定的0.8D_i之外的计算步骤似乎没有必要。